القيم الحالية
الفكرة باختصار
التيار المتردد يولّد داخل الموصل مجالًا مغناطيسيًا متغيرًا، وهذا المجال يحث تيارات دوّامية تعاكس التيار في المركز وتقوّيه قرب السطح. النتيجة: يزدحم التيار في طبقة خارجية سُمكها بضعة δ، فتقل المساحة الفعّالة وترتفع المقاومة. تشبيه بسيط: مثل جمهور يخرج من قاعة مزدحمة — كلما زادت «سرعة التغيّر» (التردد) تكدّس الناس قرب الأبواب (السطح) بدل أن يتوزعوا في القاعة.
المعادلات المستخدمة
- عمق الاختراق:
δ = √(2 / (ω μ σ))، مع ω = 2πf و μ = μ₀ μr. في DC لا يوجد عمق اختراق (غير منطبق).
- معادلة الانتشار داخل الموصل (شبه ساكنة، σ ≫ ωε):
∇²J = jωμσ J.
- الحل الدقيق لموصل أسطواني مصمت نصف قطره a:
J(r) = I · q · I₀(q r) / (2π a · I₁(q a)) مع q = (1 + j)/δ، حيث I₀ و I₁ دوال بيسل المعدّلة (تُكافئ دوال كلفن ber/bei). هذا ليس تقريبًا؛ يُحسب بمتسلسلة القوى عند |q r| < 17 وبالمفكوك التقاربي لـ Hankel فوق ذلك (بصيغة لوغاريتمية تمنع الفيضان العددي).
- حفظ التيار: المعامل
q/(2πa·I₁(qa)) يجعل ∫J dA = I تمامًا عند أي تردد أو قطر؛ ويُتحقق منه عدديًا في الجدول أعلاه.
- الكثافة الفعالة: القيمة المعروضة افتراضيًا هي |J| (RMS). العرض اللحظي:
J(r,t) = √2·Re[J(r) ejωt] — الطور يتغيّر مع العمق، والحركة مبطأة للتوضيح.
- نسبة المقاومة:
Rac/Rdc = Re[(q a/2) · I₀(q a)/I₁(q a)]، و Rdc = 1/(σπa²).
- الفقد لكل متر:
P′ = I²·Rac = ∫ |J|²/σ dA (الطريقتان متطابقتان ضمن 0.05%). كثافة الفقد الحراري p = |J|²/σ بوحدة W/m³ — لا تُعرض درجة حرارة لأن النموذج لا يتضمن انتقال الحرارة.
- حدّان للتحقق: عند a/δ ≪ 1 يقترب التوزيع من التجانس و Rac/Rdc → 1؛ وعند a/δ ≫ 1 يقترب
Rac/Rdc ≈ a/(2δ) + 1/4.
مثال مرجعي
نحاس عند 60 Hz: δ ≈ 8.5 mm (و 9.3 mm عند 50 Hz). موصل قطره 30 mm بتيار 500 A: Rac/Rdc ≈ 1.17، والكثافة عند السطح ≈ 1.5 ضعف المركز. أما سلك 4 mm فنسبته ≈ 1.00 — الأثر محدود في الأسلاك الصغيرة عند تردد الشبكة.
الافتراضات
- موصل مصمت أسطواني متجانس، طويل جدًا ومعزول (لا أطراف ولا موصلات مجاورة).
- تأثير التقارب (Proximity effect) مستبعد من هذه النسخة، وكذلك أثر التجديل والعزل والغلاف.
- درجة حرارة ثابتة 20°C؛ نحاس مُلدَّن 100% IACS: σ = 5.80×10⁷ S/m؛ ألومنيوم EC-1350 (61% IACS): σ = 3.54×10⁷ S/m؛ μr = 1.
- تيار جيبي في الحالة المستقرة؛ النموذج شبه ساكن (يُهمل تيار الإزاحة) وهو صالح بوضوح حتى 1 MHz لهذه الأبعاد.
- قيمة التيار في DC تساوي عدديًا القيمة الفعالة في AC للمقارنة العادلة.
حدود النموذج
- الكابلات والموصلات المجدولة الحقيقية تتأثر بالتقارب وبتصميم الجدائل؛ معاملات IEC 60287 العملية تقريبات هندسية لهذه الحالات وليست الحل المعروض هنا.
- الأشكال غير الدائرية (القضبان المسطحة) لها توزيع مختلف.
- نصف القطر المرسوم في المشهد يتغيّر مع القطر بمقياس بصري مضغوط حتى يبقى الموصل الصغير مرئيًا؛ القيمة الحقيقية مكتوبة بجانب الموصل.
المصادر
- S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, 3rd ed., Wiley, 1994 — الممانعة الداخلية للسلك الدائري وحل بيسل.
- F. E. Terman, Radio Engineers’ Handbook, McGraw-Hill, 1943 — جداول Rac/Rdc للموصلات الدائرية.
- M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, NBS, 1964 — دوال بيسل المعدّلة ومفكوكها التقاربي (§9.6–9.7).
- IEC 60028 (المقاومة القياسية للنحاس، 100% IACS) و IEC 60889 (ألومنيوم الموصلات الكهربائية).
المكتبات والأصول
- three.js r187 — MIT (مضمّنة محليًا). خط IBM Plex Sans Arabic — SIL OFL 1.1 (محلي). الخامات والإضاءة مولّدة برمجيًا (بيئة إضاءة استوديو مولّدة داخل المحاكي).